在本节中,我们介绍Softmax回归模型

简介

该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签 \textstyle y 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的,该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的,不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。(译者注: MNIST 是一个手写数字识别库,由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/

回想一下在 logistic 回归中,我们的训练集由 \textstyle m 个已标记的样本构成:$ \{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \} $ ,其中输入特征$ x^{(i)} \in \Re^{n+1} $(我们对符号的约定如下:特征向量
$ \textstyle x $ 的维度为 \textstyle n+1,其中 \textstyle x_0 = 1 对应截距项 。) 由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记 $ y^{(i)} \in \{0,1\}$。假设函数(hypothesis function) 如下:

我们将训练模型参数$ \textstyle \theta $,使其能够最小化代价函数 :

在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标$ \textstyle y $可以取$ \textstyle k $ 个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集$ \{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \} $,我们有$ y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\} $。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有$ \textstyle k=10 $个不同的类别。

对于给定的测试输入$ \textstyle x$,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值$ \textstyle p(y=j | x)$。也就是说,我们想估计$ \textstyle x $ 的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个 $ \textstyle k $维的向量(向量元素的和为1)来表示这$ \textstyle k$ 个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数$ \textstyle h_{\theta}(x) $ 形式如下:

其中$ \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意$ \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } $这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见,我们同样使用符号$ \textstyle \theta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将$ \textstyle \theta$ 用一个$ \textstyle k \times(n+1) $的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将 $ \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k $ 按行罗列起来得到的,如下所示:

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中,$\textstyle 1\{\cdot\}$ 是示性函数,其取值规则为:
$ \textstyle 1\{ 值为真的表达式 \textstyle \}=1 $

,$ \textstyle 1\{ 值为假的表达式 \textstyle \}=0 $。举例来说,表达式$ \textstyle 1\{2+2=4\} $的值为1 ,$ \textstyle 1\{1+1=5\} $的值为 0。我们的代价函数为:

值得注意的是,上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为:

可以看到,Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记的 $\textstyle k $个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 \textstyle x 分类为类别 $\textstyle j $的概率为:

对于$ \textstyle J(\theta)$ 的最小化问题,目前还没有闭式解法。因此,我们使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。经过求导,我们得到梯度公式如下:

让我们来回顾一下符号 “$ \textstyle \nabla_{\theta_j}$” 的含义。$\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 本身是一个向量,它的第$ \textstyle l $个元素$ \textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}} $是$ \textstyle J(\theta)对\textstyle \theta_j $的第 $\textstyle l $个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化$ \textstyle J(\theta)$。 例如,在梯度下降法的标准实现中,每一次迭代需要进行如下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)(\textstyle j=1,\ldots,k)$。

当实现 softmax 回归算法时, 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量 $\textstyle \theta_j $中减去了向量 $\textstyle \psi$,这时,每一个$ \textstyle \theta_j $都变成了 $\textstyle \theta_j - \psi(\textstyle j=1, \ldots, k)$。此时假设函数变成了以下的式子:

换句话说,从$ \textstyle \theta_j $中减去$ \textstyle \psi$ 完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数$ \textstyle h_\theta$。

进一步而言,如果参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k) $是代价函数$ \textstyle J(\theta)$ 的极小值点,那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots,
\theta_k - \psi) $同样也是它的极小值点,其中 $\textstyle \psi$ 可以为任意向量。因此使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于$ \textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)

注意,当$ \textstyle \psi = \theta_1$ 时,我们总是可以将 $\textstyle \theta_1$替换为$\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\textstyle \theta_1 $(或者其他 $\textstyle \theta_j $中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的$ \textstyle k\times(n+1) $个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ (其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1})$,我们可以令$ \textstyle \theta_1 =
\vec{0}$,只优化剩余$的 \textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数,这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数$ \textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项$\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为:

有了这个权重衰减项以后 ($\textstyle \lambda > 0$),代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为$\textstyle J(\theta)$是凸函数,梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数$ \textstyle J(\theta)$ 的导数,如下:

\begin{align}
h_\theta(x) &=
\frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } }
\begin{bmatrix}
e^{ \theta_1^T x } \\
e^{ \theta_2^T x }
\end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
h(x) &=
\frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } }
\begin{bmatrix}
e^{ \vec{0}^T x } \\
e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\
\frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } }
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\
1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\
\end{bmatrix}
\end{align}

$$
因此,用$ \textstyle \theta$’来表示$\textstyle \theta_2-\theta_1$,我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta’)^T x^{(i)} } }$,另一个类别概率的为$ \textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta’)^T x^{(i)} } }$,这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?

这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)

如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?

在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

中英文对照

  • Softmax回归 Softmax Regression
  • 有监督学习 supervised learning
  • 无监督学习 unsupervised learning
  • 深度学习 deep learning
  • logistic回归 logistic regression
  • 截距项 intercept term
  • 二元分类 binary classification
  • 类型标记 class labels
  • 估值函数/估计值 hypothesis
  • 代价函数 cost function
  • 多元分类 multi-class classification
  • 权重衰减 weight decay

原文链接:http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92
英文链接:http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_Regression


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